Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $48$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $8$ как $2$ плюс $6$

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{2}{3}$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.11

Умножим $16 (- \frac{8}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.11.2

Объединим $- 16$ и $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.11.3

Умножим $- 16$ на $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Этап 3.1.2.1.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

Этап 3.1.2.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Этап 3.1.2.1.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Этап 3.1.2.1.15

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

Этап 3.1.2.1.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

Этап 3.1.2.1.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

Этап 3.1.2.1.18

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.18.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

Этап 3.1.2.1.18.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Этап 3.1.2.1.18.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Этап 3.1.2.1.18.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

Этап 3.1.2.1.19

Объединим $8$ и $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

Этап 3.1.2.1.20

Умножим $8$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

Этап 3.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $128$ из $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Этап 3.1.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Запишем $32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Этап 3.1.2.3.2

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Этап 3.1.2.3.3

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Этап 3.1.2.3.4

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 3.1.2.3.5

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Этап 3.1.2.3.6

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Этап 3.1.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $32$ на $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $32$ на $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

Этап 3.1.2.6

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Вычтем $112$ из $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

Этап 3.1.2.6.2

Добавим $752$ и $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

Этап 3.2

Подставляя $- \frac{2}{3}$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ , найдем точку $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Этап 3.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $16$ на $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $24$ на $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $128$ из $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $- 80$ и $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

Этап 3.3.2.2.3

Добавим $16$ и $32$ .

$f (- 2) = 48$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $48$ .

$48$

Этап 3.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ , найдем точку $(- 2, 48)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, 48)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

Этап 5.2.1.3

Умножим $96$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $201.6$ из $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 42.84$ и $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $5.16$ .

$5.16$

Этап 5.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $5.16$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, - \frac{2}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Этап 6.2.1.3

Умножим $96$ на $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $128$ из $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 64$ и $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 6.3

При $- 1.\overline{3}$ вторая производная имеет вид $- 16$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2, - \frac{2}{3})$ .

Убывание на $(- 2, - \frac{2}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{2}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.5\overline{6}$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Этап 7.2.1.3

Умножим $96$ на $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $54.4$ из $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 42.84$ и $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $5.16$ .

$5.16$

Этап 7.3

При $- 0.5\overline{6}$ вторая производная имеет вид $5.16$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{2}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Этап 9