Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} + 24 x - 24$ .

$36 x^{2} + 24 x - 24$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2} + 24 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 24 x - 24 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12$ из $24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) - 24 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12$ из $- 24$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) + 12 (- 2) = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2}) + 12 (2 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2) = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ на $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} + 2 x - 2$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = 2$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Этап 2.7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{7})}{3}$

Этап 2.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.8.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7})}{3}$

Этап 2.8.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7})}{3}$

Этап 2.8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0.54858377$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.54858377$ .

$f (0.54858377) = 3 {(0.54858377)}^{4} + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $0.54858377$ в степень $4$ .

$f (0.54858377) = 3 \cdot 0.09056738 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0.09056738$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $0.54858377$ в степень $3$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 \cdot 0.16509307 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $4$ на $0.16509307$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $0.54858377$ в степень $2$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 \cdot 0.30094415$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $- 12$ на $0.30094415$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 3.61132983$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $0.27170214$ и $0.66037231$ .

$f (0.54858377) = 0.93207446 - 3.61132983$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $3.61132983$ из $0.93207446$ .

$f (0.54858377) = - 2.67925537$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 2.67925537$ .

$- 2.67925537$

Этап 3.2

Подставляя $0.54858377$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ , найдем точку $(0.54858377, - 2.67925537)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.54858377, - 2.67925537)$

Этап 3.3

Подставим $- 1.21525043$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.21525043$ .

$f (- 1.21525043) = 3 {(- 1.21525043)}^{4} + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 1.21525043$ в степень $4$ .

$f (- 1.21525043) = 3 \cdot 2.18103755 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $3$ на $2.18103755$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $- 1.21525043$ в степень $3$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 \cdot - 1.7947227 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $4$ на $- 1.7947227$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $- 1.21525043$ в степень $2$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 \cdot 1.47683362$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $- 12$ на $1.47683362$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 17.72200349$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $7.17889083$ из $6.54311266$ .

$f (- 1.21525043) = - 0.63577816 - 17.72200349$

Этап 3.3.2.2.2

Вычтем $17.72200349$ из $- 0.63577816$ .

$f (- 1.21525043) = - 18.35778166$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 18.35778166$ .

$- 18.35778166$

Этап 3.4

Подставляя $- 1.21525043$ в $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ , найдем точку $(- 1.21525043, - 18.35778166)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1.21525043, - 18.35778166)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0.54858377, - 2.67925537), (- 1.21525043, - 18.35778166)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1.21525043) \cup (- 1.21525043, 0.54858377) \cup (0.54858377, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1.21525043)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.31525043$ .

$f'' (- 1.31525043) = 36 {(- 1.31525043)}^{2} + 24 (- 1.31525043) - 24$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.31525043$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.31525043) = 36 \cdot 1.72988371 + 24 (- 1.31525043) - 24$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $1.72988371$ .

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 + 24 (- 1.31525043) - 24$

Этап 5.2.1.3

Умножим $24$ на $- 1.31525043$ .

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 - 31.56601048 - 24$

Этап 5.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $31.56601048$ из $62.27581363$ .

$f'' (- 1.31525043) = 30.70980314 - 24$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $24$ из $30.70980314$ .

$f'' (- 1.31525043) = 6.70980314$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $6.70980314$ .

$6.70980314$

Этап 5.3

При $- 1.31525043$ вторая производная имеет вид $6.70980314$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 1.21525043)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1.21525043)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.21525043, 0.54858377)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

Этап 6.2.1.3

Умножим $24$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8 - 24$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4 - 24$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 28$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 28$ .

$- 28$

Этап 6.3

При $- 0.\overline{3}$ вторая производная имеет вид $- 28$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1.21525043, 0.54858377)$ .

Убывание на $(- 1.21525043, 0.54858377)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0.54858377, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.64858377$ .

$f'' (0.64858377) = 36 {(0.64858377)}^{2} + 24 (0.64858377) - 24$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.64858377$ в степень $2$ .

$f'' (0.64858377) = 36 \cdot 0.4206609 + 24 (0.64858377) - 24$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $0.4206609$ .

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 24 (0.64858377) - 24$

Этап 7.2.1.3

Умножим $24$ на $0.64858377$ .

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 15.56601048 - 24$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $15.14379265$ и $15.56601048$ .

$f'' (0.64858377) = 30.70980314 - 24$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $24$ из $30.70980314$ .

$f'' (0.64858377) = 6.70980314$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $6.70980314$ .

$6.70980314$

Этап 7.3

При $0.64858377$ вторая производная имеет вид $6.70980314$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0.54858377, \infty)$ .

Возрастание в области $(0.54858377, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$ .

$(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$

Этап 9