Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $8 x^{5} - 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{5}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $5$ на $8$ .

$f' (x) = 40 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 20 x^{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $40 x^{4} - 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [40 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (40 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x^{4}$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 40 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 1.2.2.3

Умножим $4$ на $40$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $160 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$160 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $160 x^{3} - 60 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $160 x^{3}$ .

$20 x^{2} (8 x) - 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $- 60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3)$ .

$20 x^{2} (8 x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$8 x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $8 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $8 x - 3$ к $0$ .

$8 x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $8 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 3$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $8 x = 3$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = 3$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{8}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $20 x^{2} (8 x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{8}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 8 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 8 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $\frac{3}{8}$ в $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 {(\frac{3}{8})}^{5} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{5}}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $8$ в степень $5$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{32768}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $8$ из $32768$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 (4096)}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 \cdot 4096}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{3^{4}}{8^{4}}$

Этап 3.3.2.1.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{81}{8^{4}}$

Этап 3.3.2.1.7

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 (\frac{81}{4096})$

Этап 3.3.2.1.8

Умножим $- 5 (\frac{81}{4096})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.1

Объединим $- 5$ и $\frac{81}{4096}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 5 \cdot 81}{4096}$

Этап 3.3.2.1.8.2

Умножим $- 5$ на $81$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 405}{4096}$

Этап 3.3.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - \frac{405}{4096}$

Этап 3.3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243 - 405}{4096}$

Этап 3.3.2.2.2

Вычтем $405$ из $243$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 162}{4096}$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель $- 162$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 162$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 (- 81)}{4096}$

Этап 3.3.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4096$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

Этап 3.3.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

Этап 3.3.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 81}{2048}$

Этап 3.3.2.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{8}) = - \frac{81}{2048}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{81}{2048}$ .

$- \frac{81}{2048}$

Этап 3.4

Подставляя $\frac{3}{8}$ в $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ , найдем точку $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{8}) \cup (\frac{3}{8}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 160 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = 160 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $160$ на $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 \cdot 0.01$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 60$ на $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 0.6$

Этап 5.2.2

Вычтем $0.6$ из $- 0.16$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.76$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.76$ .

$- 0.76$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.76$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \frac{3}{8})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1875$ .

$f'' (0.1875) = 160 {(0.1875)}^{3} - 60 {(0.1875)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.1875$ в степень $3$ .

$f'' (0.1875) = 160 \cdot 0.00659179 - 60 {(0.1875)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $160$ на $0.00659179$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 {(0.1875)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $0.1875$ в степень $2$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 \cdot 0.03515625$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 60$ на $0.03515625$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 2.109375$

Этап 6.2.2

Вычтем $2.109375$ из $1.0546875$ .

$f'' (0.1875) = - 1.0546875$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1.0546875$ .

$- 1.0546875$

Этап 6.3

При $0.1875$ вторая производная имеет вид $- 1.0546875$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \frac{3}{8})$ .

Убывание на $(0, \frac{3}{8})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{3}{8}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.475$ .

$f'' (0.475) = 160 {(0.475)}^{3} - 60 {(0.475)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.475$ в степень $3$ .

$f'' (0.475) = 160 \cdot 0.10717187 - 60 {(0.475)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $160$ на $0.10717187$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 {(0.475)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.475$ в степень $2$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 \cdot 0.225625$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 60$ на $0.225625$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 13.5375$

Этап 7.2.2

Вычтем $13.5375$ из $17.1475$ .

$f'' (0.475) = 3.61$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $3.61$ .

$3.61$

Этап 7.3

При $0.475$ вторая производная имеет вид $3.61$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{3}{8}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{3}{8}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ .

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

Этап 9