Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная

$x + \frac{32}{x^{2}}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку

$32$ является константой относительно

$x$ , производная

$\frac{32}{x^{2}}$ по

$x$ равна

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.1.2.2

Перепишем

$\frac{1}{x^{2}}$ в виде

${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = x^{- 1}$ и

$g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

$n u^{n - 1}$ , где

$n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.1.2.5

Перемножим экспоненты в

${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.1.2.5.2

Умножим

$2$ на

$- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.1.2.6

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.1.2.7

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Этап 1.1.2.8

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.1.2.9

Вычтем

$4$ из

$1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.1.2.10

Умножим

$- 2$ на

$32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Этап 1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Объединим

$- 64$ и

$\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку

$- 64$ является константой относительно

$x$ , производная

$- \frac{64}{x^{3}}$ по

$x$ равна

$- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.2

Перепишем

$\frac{1}{x^{3}}$ в виде

${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = x^{- 1}$ и

$g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

$n u^{n - 1}$ , где

$n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.3.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.5

Перемножим экспоненты в

${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.5.2

Умножим

$3$ на

$- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.6

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.7

Умножим

$x^{- 6}$ на

$x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.7.1

Перенесем

$x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.7.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.7.3

Вычтем

$6$ из

$2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.2.8

Умножим

$- 3$ на

$- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2.3

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Этап 1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Объединим

$192$ и

$\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим

$\frac{192}{x^{4}}$ и

$0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Этап 1.3

Вторая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$\frac{192}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к

$0$ , затем найдем решение уравнения

$\frac{192}{x^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна

$0$ .

$\frac{192}{x^{4}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$192 = 0$

Этап 2.3

Поскольку

$192 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной

$0$ .

Нет точек перегиба