Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - x^{2}}$ в виде ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.3

Перенесем ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.9

По правилу суммы производная $8 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.23

Умножим ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.24

Чтобы записать ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26

Умножим ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.27

Упростим ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.29

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - 2 x^{2} + 8$ и $g (x) = {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.4.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.4.5

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.4.6

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.5.2

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{{(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.10.3

Перенесем ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.11

По правилу суммы производная $- x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.15

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.16.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.16.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.17.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.17.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.20

Умножим $- 2 x^{2} + 8$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.2

Умножим $- 2 x^{2} + 8$ на $\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (4)) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.3.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.4

Чтобы записать $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.5

Объединим $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ и $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7

Перепишем $\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.7.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.7.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 (2 + x) (2 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.7.2.1

Умножим ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.7.2.1.1

Перенесем ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.2.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.7.2.2

Упростим $- 2 {(- x^{2} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.4

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.8.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 (2 - x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.8.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.8.5.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1.8.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.5.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.6

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 16 + 4)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.1.8.7

Добавим $- 16$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.2.1

Перепишем $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 8}$

Этап 1.2.21.2.2

Умножим $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{- x^{2} + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Этап 1.2.21.2.3

Умножим ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 8$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.2.3.1

Умножим ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ на $- x^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.2.3.1.1

Возведем $- x^{2} + 8$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Этап 1.2.21.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 1.2.21.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.21.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 1.2.21.2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} - 12) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x^{2} - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 12$ к $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $x^{2} - 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 12$

Этап 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Этап 2.3.3.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} - 12) = 0$ верно.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$x = 0$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{8 - {(0)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{8 - 0}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{8 + 0}$

Этап 3.1.2.3

Добавим $8$ и $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{8}$

Этап 3.1.2.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (2)}$

Этап 3.1.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (0) = 0 (2 \sqrt{2})$

Этап 3.1.2.6

Умножим $0 (2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{2}$

Этап 3.1.2.6.2

Умножим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 12)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 12)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 0.2$ на ${(- 0.1)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{(- 1 \cdot 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{(- 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 0.01$ и $8$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{7.99}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем $7.99$ в виде ${2.8266588}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{({2.8266588}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 5.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 5.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{2.8266588}^{3}}$

Этап 5.2.2.6

Возведем $2.8266588$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{22.58500385}$

Этап 5.2.3

Разделим $2.398$ на $22.58500385$ .

$f'' (- 0.1) = 0.10617664$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $0.10617664$ .

$0.10617664$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.10617664$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 12)}{{(- {(0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 12)}{{(- {0.1}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $0.2$ на ${0.1}^{2} - 12$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{(- {0.1}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{(- 1 \cdot 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{(- 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 0.01$ и $8$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{7.99}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем $7.99$ в виде ${2.8266588}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{({2.8266588}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 6.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{2.8266588}^{3}}$

Этап 6.2.2.6

Возведем $2.8266588$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{22.58500385}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 2.398$ на $22.58500385$ .

$f'' (0.1) = - 0.10617664$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.10617664$ .

$- 0.10617664$

Этап 6.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.10617664$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 8