Математический анализ Примеры

$x = 45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10}$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$ .

$45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $45$ из обеих частей уравнения.

$3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x - 45$

Этап 1.2.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$5 y + \frac{x y}{10} = x - 45 - 3 x$

Этап 1.2.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$5 y + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $5 y + \frac{x y}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y$ .

$y \cdot 5 + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x y}{10}$ .

$y \cdot 5 + y (\frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 5 + y \frac{x}{10}$ .

$y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Этап 1.4

Разделим каждый член $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ на $5 + \frac{x}{10}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ на $5 + \frac{x}{10}$ .

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель $5 + \frac{x}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим $\frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$ на $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{10}{10} \cdot \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.3.2.2

Объединим.

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 (5 + \frac{x}{10})}$

Этап 1.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.3.4

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Этап 1.4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Этап 1.4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.5.1

Умножим $- 2$ на $10$ .

$y = \frac{- 20 x + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Этап 1.4.3.5.2

Умножим $10$ на $- 45$ .

$y = \frac{- 20 x - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Этап 1.4.3.5.3

Вынесем множитель $10$ из $- 20 x - 450$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.5.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 20 x$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Этап 1.4.3.5.3.2

Вынесем множитель $10$ из $- 450$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 (- 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Этап 1.4.3.5.3.3

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 2 x) + 10 (- 45)$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Этап 1.4.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.6.1

Умножим $10$ на $5$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{50 + x}$

Этап 1.4.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 45)}{50 + x}$

Этап 1.4.3.6.3

Перепишем $- 45$ в виде $- 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 1 (45))}{50 + x}$

Этап 1.4.3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x + 45))}{50 + x}$

Этап 1.4.3.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.6.5.1

Перепишем $- (2 x + 45)$ в виде $- 1 (2 x + 45)$ .

$y = \frac{10 (- 1 (2 x + 45))}{50 + x}$

Этап 1.4.3.6.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 45$ и $g (x) = 50 + x$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \frac{d}{d x} [2 x + 45] - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $2 x + 45$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + 0) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \cdot 2 - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $50 + x$ .

$- 10 \frac{2 \cdot (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7

По правилу суммы производная $50 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.8

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $50$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \cdot 1}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.11.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.11.2

Объединим $- 10$ и $\frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.11.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x) - 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{10 (2 \cdot 50) + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1.1

Умножим $10 (2 \cdot 50)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1.1.1

Умножим $2$ на $50$ .

$- \frac{10 \cdot 100 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.1.1.2

Умножим $10$ на $100$ .

$- \frac{1000 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.1.2

Умножим $2$ на $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- 2 x) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.1.4

Умножим $- 2$ на $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.1.5

Умножим $10 (- 1 \cdot 45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 \cdot - 45}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.1.5.2

Умножим $10$ на $- 45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.2

Объединим противоположные члены в $1000 + 20 x - 20 x - 450$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.2.1

Вычтем $20 x$ из $20 x$ .

$- \frac{1000 + 0 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.2.2

Добавим $1000$ и $0$ .

$- \frac{1000 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.4.4.3

Вычтем $450$ из $1000$ .

$f' (x) = - \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$550 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $550 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(50 + x)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $50 + x$ к $0$ .

$50 + x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $50$ из обеих частей уравнения.

$x = - 50$

Этап 5

Вычислим $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение в $x = - 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Подставим $- 50$ вместо $x$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $50$ из $50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{0}$

Этап 5.1.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 6

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены