Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{4} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Этап 2.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Объединим.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.1.1.3.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 4$

Этап 2.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.6

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{{(2)}^{3}}{4} - 3 \cdot 2$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8}{4} - 3 \cdot 2$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $8$ на $4$ .

$2 - 3 \cdot 2$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 - 6$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 4$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{4} - 3 \cdot - 2$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{- 8}{4} - 3 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $- 8$ на $4$ .

$- 2 - 3 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$- 2 + 6$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$4$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(2, - 4), (- 2, 4)$

Этап 5