Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x - 2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} + 0$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ и $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4

Вычислим $\frac{1}{x - 2} - 3$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{1}{(2) - 2} - 3$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{1}{0} - 3$

Этап 4.1.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены