Математический анализ Примеры

$y = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Этап 1.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Этап 1.1.4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.1.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$f' (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\sin (2 x) - \sin (x)$ .

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sin (2 x) - \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $2 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 2.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 2.6.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 2.6.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 2.6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 2.6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 2.6.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (0) + \cos (0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0^{2} + \cos (0)$

Этап 4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + \cos (0)$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $π$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (π) + \cos (π)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin^{2} (0) + \cos (π)$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0^{2} + \cos (π)$

Этап 4.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + \cos (π)$

Этап 4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$0 - \cos (0)$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{π}{3}$ вместо $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 2}{4}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{5}{4}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1), (\frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , для любого целого $n$

Этап 5