Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 2$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$3 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $75$ является константой относительно $x$ , производная $75 x$ по $x$ равна $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $75$ на $1$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 30 x + 75$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 30 x + 75$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 30 x + 75$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 30 x + 75 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 30 x + 75 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 30 x + 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 30 x + 75 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 30 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 10 x) + 75 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $75$ .

$3 x^{2} + 3 (- 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 10 x)$ .

$3 (x^{2} - 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 10 x) + 3 \cdot 25$ .

$3 (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$3 (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$3 {(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 {(x - 5)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 {(x - 5)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 2$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

${(5)}^{3} - 15 {(5)}^{2} + 75 (5) - 2$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 - 15 {(5)}^{2} + 75 (5) - 2$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$125 - 15 \cdot 25 + 75 (5) - 2$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 15$ на $25$ .

$125 - 375 + 75 (5) - 2$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $75$ на $5$ .

$125 - 375 + 375 - 2$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $375$ из $125$ .

$- 250 + 375 - 2$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 250$ и $375$ .

$125 - 2$

Этап 4.1.2.2.3

Вычтем $2$ из $125$ .

$123$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(5, 123)$

Этап 5