Математический анализ Примеры

$y = - x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $- 3 x^{2} - 8 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 8 x - 3$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} - 8 x - 3$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = - 3$ , $b = - 8$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 3)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $12$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

Этап 2.4.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

Этап 2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $12$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

Этап 2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.5.5

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $12$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

Этап 2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.6.5

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ вместо $x$ .

$- {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{3}) - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}$ на $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.6

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{4^{3} + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 16 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.3

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{1} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7 + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.6

Умножим $12$ на $7$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.7

Перепишем ${\sqrt{7}}^{3}$ в виде $\sqrt{7^{3}}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{7^{3}}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.8

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{343}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.9

Перепишем $343$ в виде $7^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.9.1

Вынесем множитель $49$ из $343$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{49 (7)}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.9.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.7.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.8

Добавим $64$ и $84$ .

$\frac{148 + 48 \sqrt{7} + 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.9

Добавим $48 \sqrt{7}$ и $7 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.10.2

Применим правило умножения к $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 (1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.12

Умножим $\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.14

Перепишем ${(4 + \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.15

Развернем $(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 (4 + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 4 + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.16.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 4 + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.1.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{7}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7 \cdot 7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.1.4

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{49}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.1.5

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7^{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + 7}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.2

Добавим $16$ и $7$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.16.3

Добавим $4 \sqrt{7}$ и $4 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 + 8 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.17

Объединим $- 4$ и $\frac{23 + 8 \sqrt{7}}{9}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} + \frac{- 4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.1.2.1.19

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.19.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ в числитель.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

Этап 4.1.2.1.19.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 3 (- 1) \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

Этап 4.1.2.1.19.3

Сократим общий множитель.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

Этап 4.1.2.1.19.4

Перепишем это выражение.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 1 (- (4 + \sqrt{7})) + 5$

Этап 4.1.2.1.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 1 (4 + \sqrt{7}) + 5$

Этап 4.1.2.1.21

Умножим $4 + \sqrt{7}$ на $1$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 4 \cdot 23 - 4 (8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $- 4$ на $23$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 92 - 4 (8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.3

Умножим $8$ на $- 4$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 92 - 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 92 \cdot 3 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.5

Умножим $- 92$ на $3$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 276 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.6

Умножим $3$ на $- 32$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 276 - 96 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.7

Вычтем $276$ из $148$ .

$\frac{- 128 + 55 \sqrt{7} - 96 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.5.8

Вычтем $96 \sqrt{7}$ из $55 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.6

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + 4 \cdot \frac{27}{27} + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.7

Объединим $4$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7} + 4 \cdot 27}{27} + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $4$ на $27$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7} + 108}{27} + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.8.3

Добавим $- 128$ и $108$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \sqrt{7} + 5$

Этап 4.1.2.9

Чтобы записать $\sqrt{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \sqrt{7} \cdot \frac{27}{27} + 5$

Этап 4.1.2.10

Объединим $\sqrt{7}$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{\sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Этап 4.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Этап 4.1.2.11.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{7} \cdot 27$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7} + 27 \sqrt{7}}{27} + 5$

Этап 4.1.2.12

Добавим $- 41 \sqrt{7}$ и $27 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + 5$

Этап 4.1.2.13

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + 5 \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.1.2.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Объединим $5$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.14.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7} + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 4.1.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим $5$ на $27$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7} + 135}{27}$

Этап 4.1.2.15.2

Добавим $- 20$ и $135$ .

$\frac{115 - 14 \sqrt{7}}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ вместо $x$ .

$- {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{3}) - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}$ на $1$ .

$\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.6

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.3

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{64 + 48 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{7}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 (1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.8

Умножим ${\sqrt{7}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {\sqrt{7}}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.9

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{1} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.9.5

Найдем экспоненту.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7 + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.10

Умножим $12$ на $7$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{7}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.13

Перепишем ${\sqrt{7}}^{3}$ в виде $\sqrt{7^{3}}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{7^{3}}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.14

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{343}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.15

Перепишем $343$ в виде $7^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.15.1

Вынесем множитель $49$ из $343$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{49 (7)}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.15.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - (7 \sqrt{7})}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.7.17

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.8

Добавим $64$ и $84$ .

$\frac{148 - 48 \sqrt{7} - 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.9

Вычтем $7 \sqrt{7}$ из $- 48 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.10.2

Применим правило умножения к $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 (1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.12

Умножим $\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.14

Перепишем ${(4 - \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.15

Развернем $(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 (4 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.4

Умножим $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.4.2

Умножим $\sqrt{7}$ на $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.4.4

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.16.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.2

Добавим $16$ и $7$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.16.3

Вычтем $4 \sqrt{7}$ из $- 4 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 - 8 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.17

Объединим $- 4$ и $\frac{23 - 8 \sqrt{7}}{9}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} + \frac{- 4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Этап 4.2.2.1.19

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.19.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ в числитель.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

Этап 4.2.2.1.19.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 3 (- 1) \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

Этап 4.2.2.1.19.3

Сократим общий множитель.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

Этап 4.2.2.1.19.4

Перепишем это выражение.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 1 (- (4 - \sqrt{7})) + 5$

Этап 4.2.2.1.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 1 (4 - \sqrt{7}) + 5$

Этап 4.2.2.1.21

Умножим $4 - \sqrt{7}$ на $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 4 \cdot 23 - 4 (- 8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.2

Умножим $- 4$ на $23$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 92 - 4 (- 8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.3

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 92 + 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 92 \cdot 3 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.5

Умножим $- 92$ на $3$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 276 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.6

Умножим $3$ на $32$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 276 + 96 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.7

Вычтем $276$ из $148$ .

$\frac{- 128 - 55 \sqrt{7} + 96 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.5.8

Добавим $- 55 \sqrt{7}$ и $96 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.6

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + 4 \cdot \frac{27}{27} - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.7

Объединим $4$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7} + 4 \cdot 27}{27} - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.8.2

Умножим $4$ на $27$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7} + 108}{27} - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.8.3

Добавим $- 128$ и $108$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} - \sqrt{7} + 5$

Этап 4.2.2.9

Чтобы записать $- \sqrt{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} - \sqrt{7} \cdot \frac{27}{27} + 5$

Этап 4.2.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.10.1

Объединим $- \sqrt{7}$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{- \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Этап 4.2.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Этап 4.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7} - 27 \sqrt{7}}{27} + 5$

Этап 4.2.2.11.2

Вычтем $27 \sqrt{7}$ из $41 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + 5$

Этап 4.2.2.12

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + 5 \cdot \frac{27}{27}$

Этап 4.2.2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.13.1

Объединим $5$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 4.2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7} + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 4.2.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.14.1

Умножим $5$ на $27$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7} + 135}{27}$

Этап 4.2.2.14.2

Добавим $- 20$ и $135$ .

$\frac{115 + 14 \sqrt{7}}{27}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{115 - 14 \sqrt{7}}{27}), (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{115 + 14 \sqrt{7}}{27})$

Этап 5