Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + \frac{128}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{128}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $128$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{128}{x}$ по $x$ равна $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 1.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 128 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.2.4

Умножим $- 1$ на $128$ .

$f' (x) = 2 x - 128 x^{- 2}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 128 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $- 128$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 128}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x - \frac{128}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.3

Каждый член в $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{128}{x^{2}}$ в числитель.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 128 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $128$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} = 128$

Этап 2.4.2

Вычтем $128$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} - 128 = 0$

Этап 2.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 128 = 0$

Этап 2.4.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 128$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 64 = 0$

Этап 2.4.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 \cdot - 64$ .

$2 (x^{3} - 64) = 0$

Этап 2.4.3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$2 (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Этап 2.4.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.4.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Этап 2.4.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Этап 2.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 2.4.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.4.6

Приравняем $x^{2} + 4 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Приравняем $x^{2} + 4 x + 16$ к $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 2.4.6.2

Решим $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.4.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.4.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.4.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.4.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.4.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ верно.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{128}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $x^{2} + \frac{128}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

${(4)}^{2} + \frac{128}{4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 + \frac{128}{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Разделим $128$ на $4$ .

$16 + 32$

Этап 4.1.2.2

Добавим $16$ и $32$ .

$48$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{128}{0}$

Этап 4.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(4, 48)$

Этап 5