Математический анализ Примеры

$x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{2}{3}}] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = 5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x (\frac{2 {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.4

Объединим $\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13.2

Объединим $\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ и $- 1$ .

$\frac{2 x \cdot - 1}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Этап 1.1.15

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.1.16

Чтобы записать ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.17

Объединим ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.19

Умножим ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.19.1

Перенесем ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3}} {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.19.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.19.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.20

Упростим ${(5 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- 2 x + (5 - x) \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.21

Перенесем $3$ влево от $5 - x$ .

$\frac{- 2 x + 3 \cdot (5 - x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.2.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{- 2 x + 15 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 2 x + 15 - 3 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 5 x + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.22.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$\frac{5 (- x) + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.3.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 (- x) + 5 (3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x) + 5 (3)$ .

$\frac{5 (- x + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{5 (- (x) + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.5

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.7

Перепишем $- (x - 3)$ в виде $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.22.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $5 (x - 3) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $5 (x - 3) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x - 3$ на $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{5}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(5 - x)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{5 - x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{5 - x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5 - x}$ в виде ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(5 - x)}^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 (5 - x) = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$27 \cdot 5 + 27 (- x) = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.6.1

Умножим $27$ на $5$ .

$135 + 27 (- x) = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$135 - 27 x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$135 - 27 x = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $135$ из обеих частей уравнения.

$- 27 x = - 135$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $- 27 x = - 135$ на $- 27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 27 x = - 135$ на $- 27$ .

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Этап 3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 135}{- 27}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Разделим $- 135$ на $- 27$ .

$x = 5$

Этап 4

Вычислим $x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$(3) {(5 - (3))}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 {(5 - 3)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$(5) {(5 - (5))}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 {(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$5 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot 0^{2}$

Этап 4.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 \cdot 0$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $5$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(3, 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (5, 0)$

Этап 5