Математический анализ Примеры

$- x + 2 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- x + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = - 1 - 2 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 1 - 2 \sin (x)$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 1 - 2 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin (x) = 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 2.6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 2.7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 2.7.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 2.9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 2.9.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 2.9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 2.10

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- x + 2 \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{7 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{19 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{19 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{19 π}{6}) + 2 \cos (\frac{19 π}{6})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{19 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.2.2

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{31 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{31 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{31 π}{6}) + 2 \cos (\frac{31 π}{6})$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{31 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.3.2.2

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.3.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{43 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{43 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{43 π}{6}) + 2 \cos (\frac{43 π}{6})$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{43 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.4.2.2

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.4.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{55 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{55 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{55 π}{6}) + 2 \cos (\frac{55 π}{6})$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{55 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.5.2.2

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.5.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.2.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.6

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $\frac{11 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{11 π}{6}) + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{11 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.6.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.7

Найдем значение в $x = \frac{23 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Подставим $\frac{23 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{23 π}{6}) + 2 \cos (\frac{23 π}{6})$

Этап 4.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.7.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.7.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.8

Найдем значение в $x = \frac{35 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим $\frac{35 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{35 π}{6}) + 2 \cos (\frac{35 π}{6})$

Этап 4.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.8.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.8.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.9

Найдем значение в $x = \frac{47 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Подставим $\frac{47 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{47 π}{6}) + 2 \cos (\frac{47 π}{6})$

Этап 4.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.9.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.9.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.9.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.9.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.10

Найдем значение в $x = \frac{59 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Подставим $\frac{59 π}{6}$ вместо $x$ .

$- (\frac{59 π}{6}) + 2 \cos (\frac{59 π}{6})$

Этап 4.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.10.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.10.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.10.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.10.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{59 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.11

Перечислим все точки.

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{6}, - \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{31 π}{6}, - \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{43 π}{6}, - \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{55 π}{6}, - \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, - \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{6}, - \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{35 π}{6}, - \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{47 π}{6}, - \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{59 π}{6}, - \frac{59 π}{6} + \sqrt{3})$

Этап 5