Математический анализ Примеры

$x + 2 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - 2 \sin (x)$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - 2 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 2.7

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.7.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x + 2 \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{13 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{13 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{13 π}{6}) + 2 \cos (\frac{13 π}{6})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{13 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.2.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{13 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{25 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{25 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{25 π}{6}) + 2 \cos (\frac{25 π}{6})$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{25 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.3.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{37 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{37 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{37 π}{6}) + 2 \cos (\frac{37 π}{6})$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{37 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.4.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{37 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{49 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{49 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{49 π}{6}) + 2 \cos (\frac{49 π}{6})$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{49 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.5.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{49 π}{6} + \sqrt{3}$

Этап 4.6

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.6.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.7

Найдем значение в $x = \frac{17 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Подставим $\frac{17 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{17 π}{6}) + 2 \cos (\frac{17 π}{6})$

Этап 4.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{17 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.7.2.2

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.7.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{17 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.8

Найдем значение в $x = \frac{29 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим $\frac{29 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{29 π}{6}) + 2 \cos (\frac{29 π}{6})$

Этап 4.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{29 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.8.2.2

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.8.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{29 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.9

Найдем значение в $x = \frac{41 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Подставим $\frac{41 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{41 π}{6}) + 2 \cos (\frac{41 π}{6})$

Этап 4.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{41 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.9.2.2

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.9.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.9.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.9.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.9.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{41 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.10

Найдем значение в $x = \frac{53 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Подставим $\frac{53 π}{6}$ вместо $x$ .

$(\frac{53 π}{6}) + 2 \cos (\frac{53 π}{6})$

Этап 4.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{53 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.10.2.2

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.10.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.10.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.10.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.10.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{53 π}{6} - \sqrt{3}$

Этап 4.11

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{13 π}{6}, \frac{13 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{25 π}{6}, \frac{25 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{37 π}{6}, \frac{37 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{49 π}{6}, \frac{49 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{17 π}{6}, \frac{17 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{29 π}{6}, \frac{29 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{41 π}{6}, \frac{41 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{53 π}{6}, \frac{53 π}{6} - \sqrt{3})$

Этап 5