Математический анализ Примеры

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{3} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ равна $- \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sqrt{3} (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sqrt{3} \sin (x)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ .

$\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Разделим дроби.

$1 + \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.7

Разделим дроби.

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

Этап 2.11

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} \tan (x) = - 1$

Этап 2.12

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (x) = - 1$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (x) = - 1$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.12.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.12.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.12.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.12.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.12.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.12.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.12.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.12.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.12.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.12.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.12.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 2.15

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Этап 2.16

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Этап 2.16.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{6}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{6} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.18

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + π$

Этап 2.18.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.18.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.18.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.18.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.4.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.18.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Этап 2.18.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.19

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{5 π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (\frac{π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \sqrt{3} \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{2} - \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.3

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.5

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

Этап 4.1.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 3}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4}{2}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{11 π}{6}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{11 π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{6}) - \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.1.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2.1.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

Этап 4.2.2.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 4.2.2.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 4.2.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 4.2.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} - \frac{3^{1}}{2}$

Этап 4.2.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 4.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 3}{2}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$- 2$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{5 π}{6} + 2 π n, 2), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, - 2)$ , для любого целого $n$

Этап 5