Математический анализ Примеры

$g (x) = - 5 x^{3} + x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{3} + x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$- 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 15 x^{2} + 4 x^{3}$

Этап 1.1.3.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 15 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 15 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3} - 15 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$x^{2} (4 x) - 15 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 15 x^{2}$ .

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 15 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 15$ .

$x^{2} (4 x - 15) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 15 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $4 x - 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $4 x - 15$ к $0$ .

$4 x - 15 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $4 x - 15 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 15$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 15$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 15$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{15}{4}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (4 x - 15) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{15}{4}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- 5 x^{3} + x^{4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$- 5 {(0)}^{3} + {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 5 \cdot 0 + {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 + {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{15}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{15}{4}$ вместо $x$ .

$- 5 {(\frac{15}{4})}^{3} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{15}{4}$ .

$- 5 \frac{15^{3}}{4^{3}} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $15$ в степень $3$ .

$- 5 \frac{3375}{4^{3}} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- 5 (\frac{3375}{64}) + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 5 (\frac{3375}{64})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Объединим $- 5$ и $\frac{3375}{64}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3375}{64} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Умножим $- 5$ на $3375$ .

$\frac{- 16875}{64} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16875}{64} + {(\frac{15}{4})}^{4}$

Этап 4.2.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{15}{4}$ .

$- \frac{16875}{64} + \frac{15^{4}}{4^{4}}$

Этап 4.2.2.1.7

Возведем $15$ в степень $4$ .

$- \frac{16875}{64} + \frac{50625}{4^{4}}$

Этап 4.2.2.1.8

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- \frac{16875}{64} + \frac{50625}{256}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{16875}{64}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16875}{64} \cdot \frac{4}{4} + \frac{50625}{256}$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $256$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{16875}{64}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16875 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{50625}{256}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $64$ на $4$ .

$- \frac{16875 \cdot 4}{256} + \frac{50625}{256}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 16875 \cdot 4 + 50625}{256}$

Этап 4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $- 16875$ на $4$ .

$\frac{- 67500 + 50625}{256}$

Этап 4.2.2.5.2

Добавим $- 67500$ и $50625$ .

$\frac{- 16875}{256}$

Этап 4.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16875}{256}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (\frac{15}{4}, - \frac{16875}{256})$

Этап 5