Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{6 x + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x + 1}$ в виде ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 6 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.3

Перенесем ${(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1] + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9

По правилу суммы производная $6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.10

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.12

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6 + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{x \cdot 6}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.14.3

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{6 \cdot x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.14.4

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.15

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 ({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x)}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.17

Умножим ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.18

Чтобы записать ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20

Умножим ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.20.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{1}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21

Упростим ${(6 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{3 x + 6 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.22

Добавим $3 x$ и $6 x$ .

$f' (x) = \frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$9 x + 1 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 x = - 1$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{9}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{9 x + 1}{\sqrt{{(6 x + 1)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{9 x + 1}{\sqrt{6 x + 1}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{9 x + 1}{\sqrt{6 x + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{6 x + 1} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{6 x + 1}}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x + 1}$ в виде ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$6 x + 1 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 1$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $6 x = - 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $6 x = - 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{6}$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 x + 1}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$6 x + 1 < 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$6 x < - 1$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $6 x < - 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $6 x < - 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} < \frac{- 1}{6}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} < \frac{- 1}{6}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 1}{6}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{1}{6}$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - \frac{1}{6}$

$(- \infty, - \frac{1}{6}]$

$x \leq - \frac{1}{6}$

$(- \infty, - \frac{1}{6}]$

Этап 4

Вычислим $x \sqrt{6 x + 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{1}{9}$ вместо $x$ .

$(- \frac{1}{9}) \sqrt{6 (- \frac{1}{9}) + 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$- \frac{1}{9} \sqrt{6 (\frac{- 1}{9}) + 1}$

Этап 4.1.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{3 (2) \frac{- 1}{9} + 1}$

Этап 4.1.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{3 \cdot 2 \frac{- 1}{3 \cdot 3} + 1}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{9} \sqrt{3 \cdot 2 \frac{- 1}{3 \cdot 3} + 1}$

Этап 4.1.2.1.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{9} \sqrt{2 (\frac{- 1}{3}) + 1}$

Этап 4.1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{- 1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{2 \cdot - 1}{3} + 1}$

Этап 4.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{- 2}{3} + 1}$

Этап 4.1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{9} \sqrt{- \frac{2}{3} + 1}$

Этап 4.1.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{9} \sqrt{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}$

Этап 4.1.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{- 2 + 3}{3}}$

Этап 4.1.2.3.5

Добавим $- 2$ и $3$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 4.1.2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 4.1.2.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 4.1.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.1.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.1.2.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.1.2.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.1.2.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.2.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.2.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 4.1.2.7.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 9}$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $3$ на $9$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{1}{6}$ вместо $x$ .

$(- \frac{1}{6}) \sqrt{6 (- \frac{1}{6}) + 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6}$ в числитель.

$- \frac{1}{6} \sqrt{6 (\frac{- 1}{6}) + 1}$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{6} \sqrt{6 (\frac{- 1}{6}) + 1}$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{6} \sqrt{- 1 + 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- \frac{1}{6} \sqrt{0}$

Этап 4.2.2.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{6} \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{6} \cdot 0$

Этап 4.2.2.3

Умножим $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{1}{6})$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{6}$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{1}{9}, - \frac{\sqrt{3}}{27}), (- \frac{1}{6}, 0)$

Этап 5