Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 16 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.2.2.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Этап 2.2.2.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Этап 2.2.2.3.5

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- 4 + 4$

Этап 2.2.2.3.6

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Этап 2.2.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 2.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 2.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Этап 2.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Этап 2.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Этап 2.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 4$

Этап 2.2.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.2.3.1.3

Перепишем многочлен.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 2.2.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$4 ((x + 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1) - 16$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$1 + 4 + 16 (- 1) - 16$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$1 + 4 - 16 - 16$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $1$ и $4$ .

$5 - 16 - 16$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $16$ из $5$ .

$- 11 - 16$

Этап 4.1.2.2.3

Вычтем $16$ из $- 11$ .

$- 27$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 - 4 \cdot 8 + 16 (2) - 16$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 4$ на $8$ .

$16 - 32 + 16 (2) - 16$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $16$ на $2$ .

$16 - 32 + 32 - 16$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$- 16 + 32 - 16$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 16$ и $32$ .

$16 - 16$

Этап 4.2.2.2.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 1, - 27), (2, 0)$

Этап 5