Математический анализ Примеры

$y = 2 x - \tan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- \sec^{2} (x) = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- \sec^{2} (x) = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Этап 2.7

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Этап 2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Точное значение $arcsec (\sqrt{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.7.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 2.7.4

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 2.7.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.7.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Этап 2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Точное значение $arcsec (- \sqrt{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.8.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 2.8.4

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 2.8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 2.8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 2.8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 2.8.4.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.8.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

Вычислим $2 x - \tan (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{4}$ вместо $x$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{4}$ вместо $x$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.2.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.2.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Этап 4.2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{5 π}{4}$ вместо $x$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Этап 4.3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.3.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{7 π}{4}$ вместо $x$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.4.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.4.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.4.2.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Этап 4.4.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{9 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{9 π}{4}$ вместо $x$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Этап 4.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Этап 4.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Этап 4.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.5.2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Этап 4.5.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Этап 4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Этап 5