Математический анализ Примеры

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 4 \ln (3 x - 9)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \ln (3 x - 9)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 1.1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Этап 1.1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Этап 1.1.2.8

Добавим $3$ и $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Этап 1.1.2.9

Объединим $\frac{1}{3 x - 9}$ и $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Этап 1.1.2.10

Сократим общий множитель $3$ и $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Этап 1.1.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Этап 1.1.2.10.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Этап 1.1.2.10.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 1.1.2.10.2.4

Сократим общий множитель.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 1.1.2.10.2.5

Перепишем это выражение.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Этап 1.1.2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Этап 1.1.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Этап 1.1.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Этап 1.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Этап 1.1.3.3

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x - 7 = 0$

Этап 2.3

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 7}{x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 0$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4

Вычислим $x - 4 \ln (3 x - 9)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $7$ вместо $x$ .

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $3$ на $7$ .

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $9$ из $21$ .

$7 - 4 \ln (12)$

Этап 4.1.2.3

Упростим $- 4 \ln (12)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$7 - \ln (12^{4})$

Этап 4.1.2.4

Возведем $12$ в степень $4$ .

$7 - \ln (20736)$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$3 - 4 \ln (0)$

Этап 4.2.2.1.3

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$3 - 4 \ln (0)$

Этап 4.2.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(7, 7 - \ln (20736))$

Этап 5