Математический анализ Примеры

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(6 - 2 x)}^{2}$ в виде $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

Этап 1.1.2

Развернем $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Этап 1.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Этап 1.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $36 - 24 x + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.2

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.4

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.6

Умножим $- 24$ на $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.9

Умножим $2$ на $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Этап 1.1.5.11

Умножим $36 - 24 x + 4 x^{2}$ на $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Перенесем $- 24$ влево от $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2.6

Вычтем $24 x$ из $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

Этап 1.1.6.2.7

Добавим $8 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

Этап 1.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 3, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x {(6 - 2 x)}^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$3 {(6 - 6)}^{2}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $6$ из $6$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Этап 4.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим ${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ на $1$ .

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

${(6 - 2)}^{2}$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $2$ из $6$ .

$4^{2}$

Этап 4.2.2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(3, 0), (1, 16)$

Этап 5