Математический анализ Примеры

$y = x \ln (x + 3)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $\frac{1}{x + 3}$ и $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $\frac{x}{x + 3}$ на $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Этап 1.1.3.7

Умножим $\ln (x + 3)$ на $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $\ln (x + 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Этап 1.1.6.1.1.2

Умножим $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1.2.1

Изменим порядок $\ln (x + 3)$ и $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Этап 1.1.6.1.1.2.2

Упростим $3 \cdot \ln (x + 3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Этап 1.1.6.1.2

Изменим порядок множителей в $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Этап 1.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.14544928$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.3

Зададим аргумент в $\ln (x + 3)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 \leq 0$

Этап 3.4

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \leq - 3$

Этап 3.5

Зададим аргумент в $\ln ({(x + 3)}^{3})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Этап 3.6.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Этап 3.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.6.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x + 3 \leq 0$

Этап 3.6.3

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \leq - 3$

Этап 3.7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Этап 4

Вычислим $x \ln (x + 3)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1.14544928$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1.14544928$ вместо $x$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $- 1.14544928$ и $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Этап 4.1.2.2

Упростим $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ путем переноса $1.14544928$ под логарифм.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Этап 4.1.2.3

Возведем $1.85455071$ в степень $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Этап 4.2.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Этап 5