Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + 3 x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 3 + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $3 x^{2} + 3$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 3$ .

$3 x^{2} + 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 3$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 3$ на $3$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.5

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Нет точек, в которых производная $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = x^{3} + 3 x + 5$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 3 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $3$ и $3$ .

$f' (1) = 6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ равен $6$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \infty, \infty)$ , так как $3 x^{2} + 3 > 0$

Этап 7

Возрастание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

Всегда возрастающие

Этап 8