Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 7 x - 7$ и $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [7 x - 7] - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $7 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{(x + 7) (7 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 7) (7 + 0) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 7 - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Перенесем $7$ влево от $x + 7$ .

$\frac{7 \cdot (x + 7) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{7 x + 49 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $7 x + 49 - 7 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Вычтем $7 x$ из $7 x$ .

$\frac{0 + 49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Добавим $0$ и $49$ .

$\frac{49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Добавим $49$ и $7$ .

$f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$56 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $56 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 7)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$ в интервале $(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$ .

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 7)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{{((- 8) + 7)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 8$ и $7$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{1}$

Этап 6.2.2

Разделим $56$ на $1$ .

$f' (- 8) = 56$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $56$ .

$56$

Этап 6.3

При $x = - 8$ производная имеет вид $56$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 7)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 7)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 7, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{56}{{((- 6) + 7)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f' (- 6) = \frac{56}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- 6) = \frac{56}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим $56$ на $1$ .

$f' (- 6) = 56$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $56$ .

$56$

Этап 7.3

При $x = - 6$ производная имеет вид $56$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 7, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 7, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 7), (- 7, \infty)$

Этап 9