Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 9$ и $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{((- 4) + 3) ((- 4) - 3)}{{(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 4$ и $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 (- 4 - 3)}{{(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot - 7}{{(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot - 7}{16}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f' (- 4) = \frac{7}{16}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Этап 6.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $\frac{7}{16}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{((- \frac{3}{2}) + 3) ((- \frac{3}{2}) - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}) (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}) (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 3 + 6}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.4.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.5

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.6

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.8.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 - 6}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.8.2

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 9}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.10.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.10.3

Умножим $3$ на $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.1.10.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Этап 7.2.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Этап 7.2.2.6

Умножим $\frac{9}{4}$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{4}}$

Этап 7.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{4}$ в числитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 7.2.4.2

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 7.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 7.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.3

При $x = - \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 3, 0)$ .

Убывание на $(- 3, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{((\frac{3}{2}) + 3) ((\frac{3}{2}) - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}) (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3 + 6}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.4.2

Добавим $3$ и $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.6

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.8.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{3 - 6}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.8.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{- 3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.10.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.10.2

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.10.3

Умножим $9$ на $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{2 \cdot 2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.1.10.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{4}}$

Этап 8.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{4}$ в числитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 8.2.4.2

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{9 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 8.2.4.3

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{9 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Этап 8.2.4.4

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 8.3

При $x = \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 3)$ .

Убывание на $(0, 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{((4) + 3) ((4) - 3)}{{(4)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Добавим $4$ и $3$ .

$f' (4) = \frac{7 (4 - 3)}{4^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f' (4) = \frac{7 \cdot 1}{4^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = \frac{7 \cdot 1}{16}$

Этап 9.2.2.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (4) = \frac{7}{16}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Этап 9.3

При $x = 4$ производная имеет вид $\frac{7}{16}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Убывание на: $(- 3, 0), (0, 3)$

Этап 11