Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x^{2} - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 12$ к $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $x^{2} - 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 12$

Этап 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Этап 2.3.3.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ верно.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ .

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4.4641016$ в степень $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $12$ из $19.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 4.4641016$ в степень $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 4.4641016$ и $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 2.4641016$ в степень $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 6.4641016$ в степень $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $19.92820309$ на $7.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $6.07179669$ на $41.78460949$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Этап 6.2.3.3

Разделим $157.99484145$ на $253.70765383$ .

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.62274369$ .

$0.62274369$

Этап 6.3

При $x = - 4.4641016$ производная имеет вид $0.62274369$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3.4641016, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $12$ из $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 2.7320508$ и $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $- 0.7320508$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $- 4.7320508$ в степень $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $7.46410157$ на $- 4.53589842$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $0.53589837$ на $22.39230477$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Этап 7.2.3.3

Разделим $- 33.85640658$ на $11.99999971$ .

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Этап 7.3

При $x = - 2.7320508$ производная имеет вид $- 2.82136728$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 3.4641016, - 2)$ .

Убывание на $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $12$ из $1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 11$ на $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

Этап 8.2.2.5

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Этап 8.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{11}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Убывание на $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Вычтем $12$ из $1$ .

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 11$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

Этап 9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

Этап 9.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Этап 9.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- \frac{11}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(2, 2 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.1.2

Вычтем $12$ из $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.1.3

Возведем $2.7320508$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $2.7320508$ и $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $2$ из $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

Этап 10.2.2.3

Возведем $4.7320508$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

Этап 10.2.2.4

Возведем $0.7320508$ в степень $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Этап 10.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $7.46410157$ на $- 4.53589842$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Этап 10.2.3.2

Умножим $22.39230477$ на $0.53589837$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Этап 10.2.3.3

Разделим $- 33.85640658$ на $11.99999971$ .

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Этап 10.3

При $x = 2.7320508$ производная имеет вид $- 2.82136728$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(2, 2 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 11

Подставим значение из интервала $(2 \sqrt{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $4.4641016$ в степень $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $12$ из $19.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Возведем $4.4641016$ в степень $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $4.4641016$ и $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $2$ из $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

Этап 11.2.2.3

Возведем $6.4641016$ в степень $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

Этап 11.2.2.4

Возведем $2.4641016$ в степень $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $19.92820309$ на $7.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $41.78460949$ на $6.07179669$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Этап 11.2.3.3

Разделим $157.99484145$ на $253.70765383$ .

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $0.62274369$ .

$0.62274369$

Этап 11.3

При $x = 4.4641016$ производная имеет вид $0.62274369$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(2 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 12

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$

Убывание на: $(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$

Этап 13