Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 80$ и $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 80$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 80$ является константой относительно $x$ , производная $- 80$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Разложим $x^{2} - 18 x + 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $80$ , а сумма — $- 18$ .

$- 10, - 8$

Этап 1.1.3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 10) (x - 8) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x - 8) = 0$ верно.

$x = 10, 8$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $10, 8$ .

$10, 8$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 8)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $10$ из $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $8$ из $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $9$ из $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Этап 6.2.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (7) = \frac{3}{4}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 6.3

При $x = 7$ производная имеет вид $\frac{3}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 8)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 8)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(8, 9)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{17}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Объединим $- 10$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

Умножим $- 10$ на $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.4.2

Вычтем $20$ из $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.6

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.7

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.9.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.9.2

Вычтем $16$ из $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.1.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.4.2

Вычтем $18$ из $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Этап 7.2.2.9

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Этап 7.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Этап 7.2.2.11

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Этап 7.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7.3

При $x = \frac{17}{2}$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(8, 9)$ .

Убывание на $(8, 9)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(9, 10)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{19}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Объединим $- 10$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.4.1

Умножим $- 10$ на $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4.2

Вычтем $20$ из $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.6

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.7

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.9.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.9.2

Вычтем $16$ из $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.10.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.1.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4.2

Вычтем $18$ из $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Этап 8.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 8.3

При $x = \frac{19}{2}$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(9, 10)$ .

Убывание на $(9, 10)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(10, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $11$ .

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вычтем $10$ из $11$ .

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $11 - 8$ на $1$ .

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Вычтем $8$ из $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $9$ из $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (11) = \frac{3}{4}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 9.3

При $x = 11$ производная имеет вид $\frac{3}{4}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(10, \infty)$ .

Возрастание в области $(10, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 8), (10, \infty)$

Убывание на: $(8, 9), (9, 10)$

Этап 11