Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.6.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Этап 1.1.7

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Этап 1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Этап 1.1.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Этап 1.1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Этап 1.1.10.2

Умножим $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Этап 4.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x - 1} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 (x - 1) = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.6

Умножим $27$ на $- 1$ .

$27 x - 27 = 0^{3}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x - 27 = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$27 x = 27$

Этап 4.3.3.2

Разделим каждый член $27 x = 27$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разделим каждый член $27 x = 27$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Этап 4.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{27}{27}$

Этап 4.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Разделим $27$ на $27$ .

$x = 1$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ в интервале $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 6.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 6.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{2}{3 (- 1)}$

Этап 6.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f' (0) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- \frac{2}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Убывание на $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 {((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (2) = \frac{2}{3}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $\frac{2}{3}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 1)$

Этап 9