Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.5.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.5.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.2.4

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Этап 6.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $\frac{6}{25}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Этап 7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $\frac{2}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Возрастание в области $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- \frac{2}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Этап 9.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- \frac{6}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Убывание на: $(0, 2), (2, \infty)$

Этап 11