Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x^{2}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Перенесем $2$ влево от $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.2

Умножим $1 + x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.12

Перенесем $2$ влево от $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Объединим противоположные члены в $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.2.1

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2.2

Добавим $2 x + 2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.3

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.7.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3.7.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Этап 1.1.3.7.4

Применим правило умножения к $(1 + x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем ${(1 + x)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем ${(1 + x)}^{2}$ к $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим ${(1 + x)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(1 - x)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(1 - x)}^{2}$ к $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(1 - x)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 4.2.3.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.3.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Этап 6.2.2.6

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{8}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.5

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Этап 7.2.3.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.8

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.9

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.3.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.3.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

Этап 7.2.3.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим $- 4$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Этап 7.2.4.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Этап 7.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

Этап 7.2.6

Умножим $- 2 (\frac{16}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Объединим $- 2$ и $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Этап 7.2.6.2

Умножим $- 2$ на $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

Этап 7.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Этап 7.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Этап 7.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{32}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.11

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 8.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Этап 8.2.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Этап 8.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

Этап 8.2.5

Умножим $2 (\frac{16}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Объединим $2$ и $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

Этап 8.2.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ: $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Этап 8.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $\frac{32}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 1)$ .

Возрастание в области $(0, 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

Этап 9.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Этап 9.3

При $x = 2$ производная имеет вид $\frac{8}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 1), (1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Этап 11