Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Этап 1.1.1.3

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ в виде ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Этап 1.1.3.8

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Этап 1.1.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x - 2$ к $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 2$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$x = 1$

Этап 2.4

Приравняем $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ к $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 2.4.2.2

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ верно.

$x = 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $1$ .

$1$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 4.2.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Применим правило умножения к $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.2.4

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Этап 6.2.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Этап 6.2.1.4

Вычтем $3$ из $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Этап 6.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Этап 6.2.3

Умножим $- 6 (\frac{4}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Объединим $- 6$ и $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Этап 6.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{24}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Этап 7.2.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Этап 7.2.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Этап 7.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Этап 7.2.3

Умножим $- 2 (\frac{4}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Этап 7.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Этап 7.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- \frac{8}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 1)$ .

Убывание на $(- 1, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Этап 8.2.1.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Этап 8.2.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Этап 8.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Этап 8.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Этап 8.2.3

Умножим $2 (\frac{4}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Этап 8.3

При $x = 2$ производная имеет вид $\frac{8}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, 3)$ .

Возрастание в области $(1, 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Этап 9.2.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Этап 9.2.1.4

Вычтем $3$ из $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Этап 9.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $2$ из $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Этап 9.2.3

Умножим $6 (\frac{4}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Объединим $6$ и $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $6$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Этап 9.3

При $x = 4$ производная имеет вид $\frac{24}{25}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(1, 3), (3, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Этап 11