Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x^{2} - 36$ на $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.9

Объединим $2$ и $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.1.10.2.2

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{2} = 72$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = 72$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = 72$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $72$ на $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Этап 2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Этап 2.3.4.4

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Этап 2.3.4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 6$

Этап 2.3.4.6

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \pm 6 i$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6 i$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6 i$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6 i, - 6 i$

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x + 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4.2.4

Приравняем ${(x - 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Приравняем ${(x - 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2

Решим ${(x - 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.2.4.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 6, 6$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2$ на $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $72$ из $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $36$ из $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Этап 6.3

При $x = - 7$ производная имеет вид $- \frac{170}{169}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 6)$ .

Убывание на $(- \infty, - 6)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 6, 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Вычтем $72$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Этап 7.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель $- 72$ и $1296$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Вынесем множитель $72$ из $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Этап 7.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $72$ из $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Этап 7.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Этап 7.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Этап 7.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- \frac{1}{18}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 6, 6)$ .

Убывание на $(- 6, 6)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(6, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Вычтем $72$ из $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $36$ из $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Этап 8.3

При $x = 7$ производная имеет вид $- \frac{170}{169}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(6, \infty)$ .

Убывание на $(6, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Этап 10