Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

Этап 1.1.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Вычтем $12$ из $0$ .

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Этап 1.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 12$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим ${(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2$ .

$2$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ в интервале $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

Этап 5.2.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 3$ и $12$ .

$f' (1) = 9 - 12$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$f' (1) = - 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 5.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 2)$ .

Убывание на $(- \infty, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

Этап 6.2.1.3

Умножим $12$ на $3$ .

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 27$ и $36$ .

$f' (3) = 9 - 12$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$f' (3) = - 3$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

Этап 8