Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2} - 15 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.5.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $15$ на $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Этап 5.2.2

Вычтем $60$ из $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $180$ .

$180$

Этап 5.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $180$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Объединим $15$ и $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Этап 6.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Этап 6.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Этап 6.2.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 6.2.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Этап 6.2.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Этап 6.2.1.12

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Этап 6.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- \frac{15}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $\frac{15}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $60$ из $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Этап 6.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Этап 6.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Этап 6.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{45}{16}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Объединим $15$ и $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 7.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Этап 7.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Этап 7.2.1.8

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Этап 7.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- \frac{15}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{15}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Этап 7.2.5.2

Вычтем $60$ из $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Этап 7.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Этап 7.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{45}{16}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 1)$ .

Убывание на $(0, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $15$ на $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 15$ на $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Этап 8.2.2

Вычтем $60$ из $240$ .

$f' (2) = 180$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $180$ .

$180$

Этап 8.3

При $x = 2$ производная имеет вид $180$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Убывание на: $(- 1, 0), (0, 1)$

Этап 10