Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 - | x |$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $4 - | x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Этап 1.1.2.2

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Этап 1.1.3

Вычтем $\frac{x}{| x |}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 2.3

Исключим решения, которые не делают $- \frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{x}{| x |}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 4 - | x |$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{| - 1 |}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{1}$

Этап 6.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f' (- 1) = 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{| 1 |}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = - 1$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, \infty)$

Этап 9