Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 4 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $8 x + 4$ и $0$ .

$f' (x) = 8 x + 4$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x + 4$ .

$8 x + 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x + 4 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$8 x = - 4$

Этап 2.3

Разделим каждый член $8 x = - 4$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $8 x = - 4$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{8}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 8 x + 4$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ в интервале $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{1}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

Этап 5.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

Этап 5.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

Этап 5.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

Этап 5.2.2

Добавим $- 12$ и $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$- 8$

Этап 5.3

При $x = - \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- 8$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{1}{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

Этап 6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

Этап 6.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 6.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $8$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \frac{1}{2}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Этап 8