Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $x$ .

$- 2 + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.3.6.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$- 2 - x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 - x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 - x + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Этап 1.1.4.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 - x + \frac{3}{2} x^{2}$

Этап 1.1.4.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 - x + \frac{3 x^{2}}{2}$

Этап 1.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$

Этап 2.2

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 2$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 4)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $4$ и $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $4$ и $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Добавим $4$ и $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.8685171$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} - (- 1.8685171) - 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Запишем $- (- 1.8685171)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} - 2$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} - 2$

Этап 5.2.1.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2} + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 1.8685171$ в степень $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 \cdot 3.49135615 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $3$ на $3.49135615$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- (- 1.8685171) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1.8685171$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $1.8685171$ на $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 4}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $10.47406845$ и $3.7370342$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{14.21110265 - 4}{2}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $4$ из $14.21110265$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.21110265}{2}$

Этап 5.2.4.3

Разделим $10.21110265$ на $2$ .

$f' (- 1.8685171) = 5.10555132$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $5.10555132$ .

$5.10555132$

Этап 5.3

При $x = - 1.8685171$ производная имеет вид $5.10555132$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} - (0.\overline{3}) - 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Запишем $- (0.\overline{3})$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} - 2$

Этап 6.2.1.2

Умножим $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} - 2$

Этап 6.2.1.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 \cdot 0.11111112 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $3$ на $0.11111112$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3.3

Умножим $- (0.\overline{3}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3.3.2

Умножим $- 0.\overline{3}$ на $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 4}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Вычтем $0.6666667$ из $0.33333336$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 0.\overline{3} - 4}{2}$

Этап 6.2.4.2

Вычтем $4$ из $- 0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 4.\overline{3}}{2}$

Этап 6.2.4.3

Разделим $- 4.\overline{3}$ на $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 2.1\overline{6}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- 2.1\overline{6}$ .

$- 2.1\overline{6}$

Этап 6.3

При $x = 0.\overline{3}$ производная имеет вид $- 2.1\overline{6}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ .

Убывание на $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.5351838$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} - (2.5351838) - 2$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Запишем $- (2.5351838)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} - 2$

Этап 7.2.1.2

Умножим $\frac{- (2.5351838)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Этап 7.2.1.3

Умножим $\frac{- (2.5351838)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} - 2$

Этап 7.2.1.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2} - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2.5351838$ в степень $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 \cdot 6.42715689 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $3$ на $6.42715689$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- (2.5351838) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2.5351838$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.3.2

Умножим $- 2.5351838$ на $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 4}{2}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вычтем $5.0703676$ из $19.28147069$ .

$f' (2.5351838) = \frac{14.21110309 - 4}{2}$

Этап 7.2.4.2

Вычтем $4$ из $14.21110309$ .

$f' (2.5351838) = \frac{10.21110309}{2}$

Этап 7.2.4.3

Разделим $10.21110309$ на $2$ .

$f' (2.5351838) = 5.10555154$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $5.10555154$ .

$5.10555154$

Этап 7.3

При $x = 2.5351838$ производная имеет вид $5.10555154$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}), (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

Убывание на: $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$

Этап 9