Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 x^{2} - 9 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 18 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 x^{2} - 18 x$ .

$9 x^{2} - 18 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x^{2} - 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$9 x^{2} - 18 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $9 x$ из $9 x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $9 x$ из $9 x^{2}$ .

$9 x (x) - 18 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $9 x$ из $- 18 x$ .

$9 x (x) + 9 x (- 2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $9 x$ из $9 x (x) + 9 x (- 2)$ .

$9 x (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 2$ .

$0, 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 9 {(- 1)}^{2} - 18 \cdot - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = 9 \cdot 1 - 18 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (- 1) = 9 - 18 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 18$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 9 + 18$

Этап 5.2.2

Добавим $9$ и $18$ .

$f' (- 1) = 27$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $27$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 9 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 9 \cdot 1 - 18 \cdot 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (1) = 9 - 18 \cdot 1$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f' (1) = 9 - 18$

Этап 6.2.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$f' (1) = - 9$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 9$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 18 \cdot 3$

Этап 7.2.1.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f' (3) = 81 - 18 \cdot 3$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 18$ на $3$ .

$f' (3) = 81 - 54$

Этап 7.2.2

Вычтем $54$ из $81$ .

$f' (3) = 27$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

Этап 7.3

При $x = 3$ производная имеет вид $27$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Убывание на: $(0, 2)$

Этап 9