Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.1.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.9

Объединим $6$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.11

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 1.1.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.12.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 6.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 6.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

Этап 6.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Этап 9