Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 + 4 x^{2} - x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $5 + 4 x^{2} - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Добавим $0$ и $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 {(- 2.4142135)}^{3} + 8 (- 2.4142135)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.4142135$ в степень $3$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 \cdot - 14.07106672 + 8 (- 2.4142135)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 14.07106672$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 + 8 (- 2.4142135)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $8$ на $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 - 19.313708$

Этап 5.2.2

Вычтем $19.313708$ из $56.28426688$ .

$f' (- 2.4142135) = 36.97055888$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $36.97055888$ .

$36.97055888$

Этап 5.3

При $x = - 2.4142135$ производная имеет вид $36.97055888$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \sqrt{2})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.4142135, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 {(- 0.70710675)}^{3} + 8 (- 0.70710675)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.70710675$ в степень $3$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 \cdot - 0.35355334 + 8 (- 0.70710675)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 0.35355334$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 + 8 (- 0.70710675)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $8$ на $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 - 5.656854$

Этап 6.2.2

Вычтем $5.656854$ из $1.41421337$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4.24264062$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4.24264062$ .

$- 4.24264062$

Этап 6.3

При $x = - 0.70710675$ производная имеет вид $- 4.24264062$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.4142135, 0)$ .

Убывание на $(- \sqrt{2}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \sqrt{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 4 {(0.70710675)}^{3} + 8 (0.70710675)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.70710675$ в степень $3$ .

$f' (0.70710675) = - 4 \cdot 0.35355334 + 8 (0.70710675)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 4$ на $0.35355334$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 8 (0.70710675)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $8$ на $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 5.656854$

Этап 7.2.2

Добавим $- 1.41421337$ и $5.656854$ .

$f' (0.70710675) = 4.24264062$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $4.24264062$ .

$4.24264062$

Этап 7.3

При $x = 0.70710675$ производная имеет вид $4.24264062$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \sqrt{2})$ .

Возрастание в области $(0, \sqrt{2})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\sqrt{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 4 {(2.4142135)}^{3} + 8 (2.4142135)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2.4142135$ в степень $3$ .

$f' (2.4142135) = - 4 \cdot 14.07106672 + 8 (2.4142135)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 4$ на $14.07106672$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 8 (2.4142135)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $8$ на $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 19.313708$

Этап 8.2.2

Добавим $- 56.28426688$ и $19.313708$ .

$f' (2.4142135) = - 36.97055888$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 36.97055888$ .

$- 36.97055888$

Этап 8.3

При $x = 2.4142135$ производная имеет вид $- 36.97055888$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{2}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \sqrt{2}), (0, \sqrt{2})$

Убывание на: $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, \infty)$

Этап 10