Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 1 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 x - 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x - 1 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $10 x - 1$ и $0$ .

$f' (x) = 10 x - 1$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 x - 1$ .

$10 x - 1$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10 x - 1 = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$10 x = 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $10 x = 1$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $10 x = 1$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{10}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10}$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 10 x - 1$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 5 x^{2} - 1 x + 8$ в интервале $(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1}{10})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{9}{10}$ .

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (- \frac{9}{10}) - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{10}$ в числитель.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

Этап 5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{9}{10}) = 10 (\frac{- 9}{10}) - 1$

Этап 5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{9}{10}) = - 9 - 1$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{10}) = - 10$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 10$ .

$- 10$

Этап 5.3

При $x = - \frac{9}{10}$ производная имеет вид $- 10$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{1}{10})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{1}{10})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{10}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11}{10}$ .

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{11}{10}) = 10 (\frac{11}{10}) - 1$

Этап 6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{11}{10}) = 11 - 1$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из $11$ .

$f' (\frac{11}{10}) = 10$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 6.3

При $x = \frac{11}{10}$ производная имеет вид $10$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{1}{10}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{10}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{1}{10}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, \frac{1}{10})$

Этап 8