Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{4} + 24 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} + 24 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $24$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 72 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $24 x^{2}$ из $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $24 x^{2}$ из $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 72 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $24 x^{2}$ из $72 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $24 x^{2}$ из $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3)$ .

$24 x^{2} (x + 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $24 x^{2} (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 3$ .

$0, - 3$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 24 {(- 4)}^{3} + 72 {(- 4)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = 24 \cdot - 64 + 72 {(- 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $24$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 {(- 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 \cdot 16$

Этап 5.2.1.4

Умножим $72$ на $16$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 1152$

Этап 5.2.2

Добавим $- 1536$ и $1152$ .

$f' (- 4) = - 384$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 384$ .

$- 384$

Этап 5.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $- 384$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (3) (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 27}{8})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 27 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $3$ на $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Этап 6.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Этап 6.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Этап 6.2.1.9

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Этап 6.2.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{2^{2}})$

Этап 6.2.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{4})$

Этап 6.2.1.12

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.12.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 (18) (\frac{9}{4})$

Этап 6.2.1.12.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 \cdot (18 (\frac{9}{4}))$

Этап 6.2.1.12.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 18 \cdot 9$

Этап 6.2.1.13

Умножим $18$ на $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 162$

Этап 6.2.2

Добавим $- 81$ и $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 81$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $81$ .

$81$

Этап 6.3

При $x = - \frac{3}{2}$ производная имеет вид $81$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 3, 0)$ .

Возрастание в области $(- 3, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 72 {(1)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 72 {(1)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $24$ на $1$ .

$f' (1) = 24 + 72 {(1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 24 + 72 \cdot 1$

Этап 7.2.1.4

Умножим $72$ на $1$ .

$f' (1) = 24 + 72$

Этап 7.2.2

Добавим $24$ и $72$ .

$f' (1) = 96$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $96$ .

$96$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $96$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 3)$

Этап 9