Математический анализ Примеры

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $- 20 x^{3} - 8 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 20 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $5 x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $5 x^{2} + 2$ к $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $5 x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} = - 2$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $5 x^{2} = - 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x^{2} = - 2$ на $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Этап 2.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Этап 2.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Этап 2.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Этап 2.5.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 2.5.2.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.5.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 2.5.2.4.5.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 2.5.2.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.2.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.2.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 2.5.2.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Этап 2.5.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Этап 2.5.2.4.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 2.5.2.4.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Этап 2.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Этап 2.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Этап 2.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Этап 5.2.2

Добавим $20$ и $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $28$ .

$28$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $28$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 20$ на $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Этап 6.2.2

Вычтем $8$ из $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 28$ .

$- 28$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 28$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, \infty)$

Этап 8