Математический анализ Примеры

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{2}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $54$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{54}{x}$ по $x$ равна $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 1.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Объединим $- 54$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Этап 1.1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Этап 1.1.5.2.3

Добавим $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ и $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.3

Каждый член в $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{54}{x^{2}}$ в числитель.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $54$ к обеим частям уравнения.

$128 x^{3} = 54$

Этап 2.4.2

Вычтем $54$ из обеих частей уравнения.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Этап 2.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $128 x^{3} - 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $128 x^{3}$ .

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Этап 2.4.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 54$ .

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Этап 2.4.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ .

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Этап 2.4.3.2

Перепишем $64 x^{3}$ в виде ${(4 x)}^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Этап 2.4.3.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Этап 2.4.3.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 4 x$ и $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.5.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.5.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.5.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.5.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Этап 2.4.3.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Этап 2.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Этап 2.4.5

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 2.4.5.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 2.4.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 2.4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 2.4.6

Приравняем $16 x^{2} + 12 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Приравняем $16 x^{2} + 12 x + 9$ к $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Этап 2.4.6.2

Решим $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.6.2.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = 12$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 64$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.3

Вычтем $576$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 432$ в виде $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (432)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.7

Перепишем $432$ в виде $12^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $144$ из $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.7.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.4.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 64$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.3

Вычтем $576$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.4

Перепишем $- 432$ в виде $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (432)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.7

Перепишем $432$ в виде $12^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $144$ из $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.7.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.4.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.4.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.4.6.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.4.6.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 64$ на $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.3

Вычтем $576$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.4

Перепишем $- 432$ в виде $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (432)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.7

Перепишем $432$ в виде $12^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $144$ из $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.7.2

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.4.6.2.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.4.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.5.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.4.6.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.4.6.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{54}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $128$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

Этап 6.2.1.3

Разделим $54$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $54$ .

$f' (- 1) = - 128 - 54$

Этап 6.2.2

Вычтем $54$ из $- 128$ .

$f' (- 1) = - 182$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 182$ .

$- 182$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 182$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \frac{3}{4})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.375$ .

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $128$ на $0.375$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $0.375$ в степень $2$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

Этап 7.2.1.3

Разделим $54$ на $0.140625$ .

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 1$ на $384$ .

$f' (0.375) = 48 - 384$

Этап 7.2.2

Вычтем $384$ из $48$ .

$f' (0.375) = - 336$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 336$ .

$- 336$

Этап 7.3

При $x = 0.375$ производная имеет вид $- 336$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{3}{4})$ .

Убывание на $(0, \frac{3}{4})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{3}{4}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.75$ .

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $128$ на $1.75$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $1.75$ в степень $2$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

Этап 8.2.1.3

Разделим $54$ на $3.0625$ .

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 1$ на $17.63265306$ .

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

Этап 8.2.2

Вычтем $17.63265306$ из $224$ .

$f' (1.75) = 206.36734693$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $206.36734693$ .

$206.36734693$

Этап 8.3

При $x = 1.75$ производная имеет вид $206.36734693$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{3}{4}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{3}{4}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Этап 10