Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} + 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{2} + 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$24 x^{2} = - 7$

Этап 2.3

Разделим каждый член $24 x^{2} = - 7$ на $24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $24 x^{2} = - 7$ на $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $- \frac{7}{24}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Этап 2.5.1.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Этап 2.5.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Этап 2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Этап 2.5.3

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.5.4

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Этап 2.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 2.5.5.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 2.5.5.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 2.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 2.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 2.5.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Этап 2.5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Этап 2.5.6.2

Умножим $7$ на $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Этап 2.5.7

Умножим $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Умножим $\frac{i}{2}$ на $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.7.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Нет точек, в которых производная $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Этап 5.2.1.2

Умножим $24$ на $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Этап 5.2.2

Добавим $24$ и $7$ .

$f' (1) = 31$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $31$ .

$31$

Этап 6

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ равен $31$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \infty, \infty)$ , так как $24 x^{2} + 7 > 0$

Этап 7

Возрастание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

Всегда возрастающие

Этап 8