Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - x^{2}}$ в виде ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.3

Перенесем ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.9

По правилу суммы производная $8 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.20.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.23

Умножим ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.24

Чтобы записать ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26

Умножим ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.27

Упростим ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.29

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 x^{2} + 8 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} = - 8$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 8$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 8$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 2$ .

$x^{2} = 4$

Этап 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2, - 2$ .

$2, - 2$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{{(- x^{2} + 8)}^{1}}}$

Этап 4.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{- x^{2} + 8} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- x^{2} + 8}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x^{2} + 8}$ в виде ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x^{2} + 8)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Упростим.

$- x^{2} + 8 = 0^{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 8$

Этап 4.3.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Этап 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Этап 4.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Этап 4.3.3.4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 4.3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 4.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{2}$

Этап 4.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x^{2} + 8}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x^{2} + 8 < 0$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} < - 8$

Этап 4.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} < - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} < - 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} > \frac{- 8}{- 1}$

Этап 4.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x^{2} > 8$

Этап 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{8}$

Этап 4.5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{8}$

Этап 4.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1

Упростим $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$| x | > \sqrt{4 (2)}$

Этап 4.5.4.2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 4.5.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > | 2 | \sqrt{2}$

Этап 4.5.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | > 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5.5

Запишем $| x | > 2 \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.5.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.5.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.5.6

Найдем пересечение $x > 2 \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$x > 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5.7

Разделим каждый член $- x > 2 \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.7.1

Разделим каждый член $- x > 2 \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 4.5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 4.5.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 4.5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.7.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Этап 4.5.7.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ в виде $- (2 \sqrt{2})$ .

$x < - (2 \sqrt{2})$

Этап 4.5.7.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x < - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5.8

Найдем объединение решений.

$x < - 2 \sqrt{2}$ или $x > 2 \sqrt{2}$

Этап 4.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.828427$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 {(- 3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3.828427$ в степень $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2$ на $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $- 29.31370658$ и $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Возведем $- 3.828427$ в степень $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 14.65685329$ и $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем $- 6.65685329$ в виде ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 6.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Этап 6.2.2.6

Упростим.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Этап 6.2.3

Умножим числитель и знаменатель $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ на комплексно сопряженное $2.58008784 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Этап 6.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Объединим.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Этап 6.2.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Добавим круглые скобки.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Этап 6.2.4.2.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Этап 6.2.4.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Этап 6.2.4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Этап 6.2.4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Этап 6.2.4.2.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Этап 6.2.5

Умножим $2.58008784$ на $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Этап 6.2.6

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f' (- 3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Этап 6.2.7

Вынесем множитель $21.31370658$ из $21.31370658 i$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Этап 6.2.8

Вынесем множитель $2.58008784$ из $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Этап 6.2.9

Разделим дроби.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Этап 6.2.10

Разделим $21.31370658$ на $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Этап 6.2.11

Разделим $i$ на $1$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 i$

Этап 6.2.12

Окончательный ответ: $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Этап 6.3

При $x = - 3.828427$ производная равна $8.26084531 i$ . Поскольку это значение содержит мнимое число, функция не существует на $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ .

Функция не является вещественной на $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ , поскольку $f' (x)$ мнимое

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2.828427, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 {(- 2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 2.4142135$ в степень $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2$ на $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим $- 11.65685364$ и $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Возведем $- 2.4142135$ в степень $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 5.82842682$ и $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем $2.17157317$ в виде ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 7.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 7.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Этап 7.2.2.6

Найдем экспоненту.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Этап 7.2.3

Разделим $- 3.65685364$ на $1.47362586$ .

$f' (- 2.4142135) = - 2.48153465$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Этап 7.3

При $x = - 2.4142135$ производная имеет вид $- 2.48153465$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2.828427, - 2)$ .

Убывание на $(- 2 \sqrt{2}, - 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 8}{{(- {(0)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.1.3

Добавим $0$ и $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{8^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.3

Перенесем $8^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Этап 8.2.4

Умножим $8$ на $8^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $8$ на $8^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Этап 8.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (0) = 8^{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 8.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (0) = 8^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 8.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (0) = 8^{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 8.2.4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (0) = 8^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $8^{\frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3

При $x = 0$ производная имеет вид $8^{\frac{1}{2}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 2, 2)$ .

Возрастание в области $(- 2, 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(2, 2 \sqrt{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 {(2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $2.4142135$ в степень $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 2$ на $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.1.3

Добавим $- 11.65685364$ и $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Возведем $2.4142135$ в степень $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $- 5.82842682$ и $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем $2.17157317$ в виде ${1.47362586}^{2}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 9.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 9.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Этап 9.2.2.6

Найдем экспоненту.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Этап 9.2.3

Разделим $- 3.65685364$ на $1.47362586$ .

$f' (2.4142135) = - 2.48153465$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Этап 9.3

При $x = 2.4142135$ производная имеет вид $- 2.48153465$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, 2 \sqrt{2})$ .

Убывание на $(2, 2 \sqrt{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(2 \sqrt{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.828427$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 {(3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $3.828427$ в степень $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $- 2$ на $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.1.3

Добавим $- 29.31370658$ и $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $3.828427$ в степень $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $- 14.65685329$ и $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.2.3

Перепишем $- 6.65685329$ в виде ${(2.58008784 i)}^{2}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 10.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 10.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Этап 10.2.2.6

Упростим.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Этап 10.2.3

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Этап 10.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Объединим.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Этап 10.2.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.1

Добавим круглые скобки.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Этап 10.2.4.2.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Этап 10.2.4.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Этап 10.2.4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Этап 10.2.4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Этап 10.2.4.2.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Этап 10.2.5

Умножим $2.58008784$ на $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Этап 10.2.6

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f' (3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Этап 10.2.7

Вынесем множитель $21.31370658$ из $21.31370658 i$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Этап 10.2.8

Вынесем множитель $2.58008784$ из $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Этап 10.2.9

Разделим дроби.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Этап 10.2.10

Разделим $21.31370658$ на $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Этап 10.2.11

Разделим $i$ на $1$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 i$

Этап 10.2.12

Окончательный ответ: $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Этап 10.3

При $x = 3.828427$ производная равна $8.26084531 i$ . Поскольку это значение содержит мнимое число, функция не существует на $(2 \sqrt{2}, \infty)$ .

Функция не является вещественной на $(2 \sqrt{2}, \infty)$ , поскольку $f' (x)$ мнимое

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 2, 2)$

Убывание на: $(- 2 \sqrt{2}, - 2), (2, 2 \sqrt{2})$

Этап 12