Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 x^{3} - 45 x^{2} - 216 x + 9$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 45 x^{2} - 216 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 45$ является константой относительно $x$ , производная $- 45 x^{2}$ по $x$ равна $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 45$ .

$36 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} [- 216 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 216 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 216$ является константой относительно $x$ , производная $- 216 x$ по $x$ равна $- 216 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 90 x - 216 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 x^{2} - 90 x - 216 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 216$ на $1$ .

$36 x^{2} - 90 x - 216 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$36 x^{2} - 90 x - 216 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $36 x^{2} - 90 x - 216$ и $0$ .

$f' (x) = 36 x^{2} - 90 x - 216$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} - 90 x - 216$ .

$36 x^{2} - 90 x - 216$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} - 90 x - 216 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$36 x^{2} - 90 x - 216 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $18$ из $36 x^{2} - 90 x - 216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $18$ из $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 90 x - 216 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $18$ из $- 90 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 5 x) - 216 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $18$ из $- 216$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 5 x) + 18 (- 12) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $18$ из $18 (2 x^{2}) + 18 (- 5 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 5 x) + 18 (- 12) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $18$ из $18 (2 x^{2} - 5 x) + 18 (- 12)$ .

$18 (2 x^{2} - 5 x - 12) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$18 (2 x^{2} - 5 x - 12) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $3$ плюс $- 8$

$18 (2 x^{2} + (3 - 8) x - 12) = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$18 ((2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$18 (x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3)) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$18 ((2 x + 3) (x - 4)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$18 (2 x + 3) (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 (2 x + 3) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, 4$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{3}{2}, 4$ .

$- \frac{3}{2}, 4$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{3}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 36 {(- 2.5)}^{2} - 90 \cdot - 2.5 - 216$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.5$ в степень $2$ .

$f' (- 2.5) = 36 \cdot 6.25 - 90 \cdot - 2.5 - 216$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $6.25$ .

$f' (- 2.5) = 225 - 90 \cdot - 2.5 - 216$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 90$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 225 + 225 - 216$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $225$ и $225$ .

$f' (- 2.5) = 450 - 216$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $216$ из $450$ .

$f' (- 2.5) = 234$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $234$ .

$234$

Этап 5.3

При $x = - 2.5$ производная имеет вид $234$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{3}{2})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.5, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.25$ .

$f' (1.25) = 36 {(1.25)}^{2} - 90 \cdot 1.25 - 216$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $1.25$ в степень $2$ .

$f' (1.25) = 36 \cdot 1.5625 - 90 \cdot 1.25 - 216$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $1.5625$ .

$f' (1.25) = 56.25 - 90 \cdot 1.25 - 216$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 90$ на $1.25$ .

$f' (1.25) = 56.25 - 112.5 - 216$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $112.5$ из $56.25$ .

$f' (1.25) = - 56.25 - 216$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $216$ из $- 56.25$ .

$f' (1.25) = - 272.25$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 272.25$ .

$- 272.25$

Этап 6.3

При $x = 1.25$ производная имеет вид $- 272.25$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.5, 4)$ .

Убывание на $(- \frac{3}{2}, 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = 36 {(5)}^{2} - 90 \cdot 5 - 216$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (5) = 36 \cdot 25 - 90 \cdot 5 - 216$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $25$ .

$f' (5) = 900 - 90 \cdot 5 - 216$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 90$ на $5$ .

$f' (5) = 900 - 450 - 216$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $450$ из $900$ .

$f' (5) = 450 - 216$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $216$ из $450$ .

$f' (5) = 234$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $234$ .

$234$

Этап 7.3

При $x = 5$ производная имеет вид $234$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Возрастание в области $(4, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (4, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{3}{2}, 4)$

Этап 9