Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 4 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 8$

Этап 5.2.2

Добавим $- 32$ и $8$ .

$f' (- 2) = - 24$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 24$ .

$- 24$

Этап 5.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- 24$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

Этап 6.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

Этап 6.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 6.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

Этап 6.2.1.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 6.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $\frac{3}{2}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 0)$ .

Возрастание в области $(- 1, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

Этап 7.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

Этап 7.2.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Этап 7.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Этап 7.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 7.3

При $x = \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{3}{2}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 1)$ .

Убывание на $(0, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f' (2) = 32 - 8$

Этап 8.2.2

Вычтем $8$ из $32$ .

$f' (2) = 24$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$24$

Этап 8.3

При $x = 2$ производная имеет вид $24$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Этап 10