Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 9$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{2} (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 3$ .

$0, 3$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Этап 5.2.2

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 16$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Этап 6.2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Этап 6.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Этап 6.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Этап 6.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Этап 6.2.1.9

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3

Объединим $- 27$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $- 27$ на $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $54$ из $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Этап 6.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Этап 6.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Этап 6.3

При $x = \frac{3}{2}$ производная имеет вид $- \frac{27}{2}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 3)$ .

Убывание на $(0, 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 12$ на $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Этап 7.2.2

Вычтем $192$ из $256$ .

$f' (4) = 64$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $64$ .

$64$

Этап 7.3

При $x = 4$ производная имеет вид $64$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(3, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (0, 3)$

Этап 9